Математические задачи и головоломки

[Quanty]

Задача 2

У игрока X долларов.
На каждом шагу игрок выигрывает доллар с вероятностью P, и проигрывает с вероятностью 1-P.
При достижении суммы в Y>X долларов игрок выигрывает.
Если игрок теряет все деньги , то он проигрывает.

Какова вероятность выигрыша, проигрыша и того, что игра никогда не остановится?

Можно использовать условные мат ожидания, тогда все три вероятности будут удовлетворять такому рекурсивному уравнению:

P_X = P_{X+1} * P + P_{X-1} * (1-P), где P_S есть вероятность события при начальном капитале в S долларов.

Граничные условия будут разными. Например, чтобы посчитать вероятность выигрыша, надо решить это рекурсивное уравнение с граничным условием P_0 = 0, P_Y = 1.

[Quanty]

по условию задачи сумма должна быть 2014, а не 2013

опять 25….при чем тут сумма 2013?

2014 = 3*671 + 1. Произведение будет 3^671*1= 3^671. Как я сказал, я пропустил один вариант, и более оптимальное разложение есть 2014 = 3*670 + 4, нежели 2014 = 3*671 + 1.

[Valen007]

Можно использовать условные мат ожидания, тогда все три вероятности будут удовлетворять такому рекурсивному уравнению:

P_X = P_{X+1} * P + P_{X-1} * (1-P), где P_S есть вероятность события при начальном капитале в S долларов.

Граничные условия будут разными. Например, чтобы посчитать вероятность выигрыша, надо решить это рекурсивное уравнение с граничным условием P_0 = 0, P_Y = 1.

кажется, должно быть

P_X=P_{x+1}*(1-P)+P_{X-1}*P

вопрос, как это решить

[Quanty]

кажется, должно быть

P_X=P_{x+1}*(1-P)+P_{X-1}*P

вопрос, как это решить

Должно быть (согласно условию) P_X=P_{x+1}*P+P_{X-1}*(1-P). (*)

Решать рекурсивно, в зависимости от начальных и граничных условий. Например, для вероятности того, что игра не закончится P_0 = 0 и P_Y = 0, из чего нетрудно вывести, что P_X = 0 т.е. вероятность того, что игра не закончится равна нулю.

Для вычисления вероятности выигрыша начальное условие P_0 =0, граничное P_Y = 1.

Из уравнения (*) можно получить (индуктивно): P_S = ( 1 + (1-p)/p + … + ((1-p)/p)^(S-1) ) * P_1, для любого S.


В частности, для S=Y, имеем (после суммирования геометрической прогрессии)

P_Y = 1 - ((1-p)/p)^Y / ( 1 - (1-p)/p ) если P != 1/2, Y* P_1 если P= 1/2.


Теперь, используя граничное условие P_Y = 1, получаем P_1 = (1 - (1-p)/p ) / ( 1 - ((1-p)/p)^Y ), если P != 1/2, и 1/Y если P=1/2.

В итоге, P_X = (1 - (1-p)/p )^X / ( 1 - ((1-p)/p)^Y ) * P_1 если P != 1/2, и X/Y если P=1/2.

Учитывая, что вероятность бесконечной игры равна нулю, вероятность проигрыша равна (1 - вероятность выигрыша).

[Valen007]

P_x это вероятность того, что у игрока Х долларов в какой-то момент игры?

Это могло возникнуть или если у него было
1) Х+1 долларов на пред ходу и он проиграл (вероятность 1-Р)
2) Х-1 долларов на пред ходу и он выиграл (вероятность Р)

т.е. вероятность того , что у игрока стало Х долларов в какой-то момент игры

это Р_х=Р_(х-1)*Р+Р_(х+1)*(1-з) не так ли?

[Quanty]

P_x это вероятность того, что у игрока Х долларов в какой-то момент игры?

Это могло возникнуть или если у него было
1) Х+1 долларов на пред ходу и он проиграл (вероятность 1-Р)
2) Х-1 долларов на пред ходу и он выиграл (вероятность Р)

т.е. вероятность того , что у игрока стало Х долларов в какой-то момент игры

это Р_х=Р_(х-1)*Р+Р_(х+1)*(1-з) не так ли?

Не так. P_X это не вероятность того, что у игрока Х долларов в какой-то момент игры. P_X это вероятность события (выигрыша, проигрыша, или бесконечной игры) при условии, что игра начинается с банка в Х долларов.

Тогда, использую условную вероятность в зависимости от исхода первого шага игры, и http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_probability получаем рекурсивное уравнение которое я написал.

[XCNY]

Как всё интерестно, а можна эток как то всё в числовых значениях ,без Х-сов У -греков и этих Р?

[Quanty]

конечно можно. Ставишь вместо X число 10, вместо Y число 20, вместо P число 1/2

[Яправ]

зря ты здесщь эту тему открыл. Нету тут умных толковых математиков. Все чего-то там учили в совке, а птоом сразу забыли.

Я, конечно, отвечать не буду, ато скажут что хвастаюсь...

[Quanty]

зря ты здесщь эту тему открыл. Нету тут умных толковых математиков. Все чего-то там учили в совке, а птоом сразу забыли.

Я, конечно, отвечать не буду, ато скажут что хвастаюсь...

не только скажут, а еще и метлой поганой погонят. давай флуди в своих порно-темах.