Так написали прикольно

"Поступил без проблем"... как-будто вы экзамены сдавали... ну ладно это не важно, просто прикольно.
Что касается ответов на Ваши вопросы.
1. В данный момент вы легально работать НЕ можете, даже если вы и получите студенческий статус F-1 то работать вы сможете только на территории университета (кампуса) и не более 20-ти часов в неделю. (такие правила студенческого статуса).
2. Пока Ваш кейс рассматривается получить Driver's License вы не можете, т.к придется в DMV им показать что-то... т.е например если вы имеете студенческий статус, то придется им показать свою I-20, в которой написан до какого срока она действительная и права вам выдадут именно на этот срок.
3. В данный момент никакого статуса у вас нет, если как вы сказали ваш J-1 уже истек, а F-1 вам еще не дали, однако Вы можете находится в стране пока не примут окончательно решение по вашему кейсу.
4. Поехать домой вы можете конечно, но для того чтобы вернуться обратно в США вам нужно будет идти в консульство США у вас там на Родине и получать визу, в вашем случаи студенческую и 99% что вам ее не дадут. Вы не забывайте то, что вы сейчас меняете статус внутри страны, и визу в пасспорт Вам никто клеить не будет

Виза нужна только для пересечения границы. Так вот если вы поедите домой, то шансов у Вас получить визу очень и очень мало, т.к не любят консулы когда люди статус меняют не выезжая. В общем совет не выезжать.
(Моему другу не дали визу... он был студентом PhD, получив до этого Мастерс в США... и вдруг внезапно срочно сорвался домой и его обратно уже не пустили, т.к просто не дали визу.)