Математические задачи и головоломки

[Quanty]

по совместительству финалист олимпиады в США

дело правда было лет 6 назад

разве что паралимпиады….

[Яправ]

разве что паралимпиады….

интересно что у врача такой юмор. Поэтому всегда советую от русскоговорящих специалистов держаться подальше. Изуродуют и поржут.

[Quanty]

интересно что у врача такой юмор. Поэтому всегда советую от русскоговорящих специалистов держаться подальше. Изуродуют и поржут.

врача? LOL well, i am a doctor, but a doctor of philosophy…not a real doctor )

[Яправ]

врача? LOL well, i am a doctor, but a doctor of philosophy…not a real doctor )

а кто говорил что он чиропрактор? а... нукард наверное... я вас все время путаю. Оба как козлята к мужикам прикапываетесь

[XCNY]

Это очень сложные задачи. Если племянник может решить какую-то из них, это , мне кажется, уже хороший результат.

Нада будет ему закинуть из IMO ,посмотреть его подход.:115: и знания.

[Valen007]

Можно ли в таблице 11*11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец? (Шаповалов)

[Quanty]

ну что, репу почесал я изрядно.

Ответ будет - нет, нельзя.

Допустим есть таблица где выполняются оба условия i.e.
1) каждое число в клетке граничит с ближайшим числом и
2) есть столбец в котором только квадраты 1, 2^2, 3^2, …, 11^2.

Понятно, что столбец с квадратами не первый и не последний i.e. он разделяет таблицу на две части (иначе первое условие не выполняется).
Если это столбец номер k, то в первой части (k-1)*11 клеток, а во второй (11-k)*11 клеток i.e. кол-во клеток в каждой из частей должно делиться на 11.

Первое условие дает такую геометрическую интерпретацию: Можно провести непрерывную кривую которая последовательно проходит через все числа/клетки начиная с 1 и заканчивая 121.
Понятно также, что кривая начиная с 1 остается в одной части таблицы, затем переходит через следующий квадрат в другую часть таблицы и т.д. (e.g. начиная с 1 сначала проходит по левой части, потом проходит через 4 и оставаясь справа проходит к 9, потом оставаясь в левой части проходит к 16 и т.д.).

Разность между соседними квадратами n^2 и (n-1)^2 есть n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.
То есть на нашей кривой между последовательными квадратами будет 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, и 20 клеток.

Таким образом, в одной части таблицы кривая пройдет через 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 клеток, а в другой через 4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60 клеток. Ни то ни другое кол-во не делится на 11. Противоречие.

[XCNY]

А я ищё не закончил,чисто эмперически цыфирки раставлять по квадратикам в таблице

[Valen007]

Спасибо за ответ.
Некоторое время уйдет на проверку правильности вашего решения.

ну что, репу почесал я изрядно.

Ответ будет - нет, нельзя.

Допустим есть таблица где выполняются оба условия i.e.
1) каждое число в клетке граничит с ближайшим числом и
2) есть столбец в котором только квадраты 1, 2^2, 3^2, …, 11^2.

Понятно, что столбец с квадратами не первый и не последний i.e. он разделяет таблицу на две части (иначе первое условие не выполняется).
Если это столбец номер k, то в первой части (k-1)*11 клеток, а во второй (11-k)*11 клеток i.e. кол-во клеток в каждой из частей должно делиться на 11.

Первое условие дает такую геометрическую интерпретацию: Можно провести непрерывную кривую которая последовательно проходит через все числа/клетки начиная с 1 и заканчивая 121.
Понятно также, что кривая начиная с 1 остается в одной части таблицы, затем переходит через следующий квадрат в другую часть таблицы и т.д. (e.g. начиная с 1 сначала проходит по левой части, потом проходит через 4 и оставаясь справа проходит к 9, потом оставаясь в левой части проходит к 16 и т.д.).

Разность между соседними квадратами n^2 и (n-1)^2 есть n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.
То есть на нашей кривой между последовательными квадратами будет 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, и 20 клеток.

Таким образом, в одной части таблицы кривая пройдет через 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 клеток, а в другой через 4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60 клеток. Ни то ни другое кол-во не делится на 11. Противоречие.

[XCNY]

Ответ верный.Тока доказвтельство чуток иное.Вот надыбал.

Допустим, что такая расстановка возможна. Заметим, что столбец точных квадратов не может быть ни первым, ни последним, так как у точных квадратов 20 соседних чисел, а в одном соседнем столбце можно уместить только 11 чисел. Таким образом, после удаления столбца точных квадратов, таблица распадается на две непустые части, в каждой из которых число клеток кратно 11. Группа чисел между двумя последовательными квадратами попадает в одну из этих частей, при этом числа *m2 – 1* и *m2 + 1* попадают в разные части, поэтому такие группы чисел попеременно попадают то в одну часть таблицы, то в другую. Между m2 и *(m + 1)2* имеется 2m чисел. Следовательно, в одну из частей попадет *2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50* чисел. Но 50 не кратно 11.