Математические задачи и головоломки

[Quanty]

не обращайте внимания. Яправ это тролль.

[XCNY]

Задача из IMO.
Целые положительные числа А и В такие , что 15А+16В и 15А-16В квадраты целых положительных чисел.
Чему равно наименьшее возможное значение меньшего из двух этих квадратов?

:115:

[Quanty]

Задача из IMO.
Целые положительные числа А и В такие , что 15А+16В и 15А-16В квадраты целых положительных чисел.
Чему равно наименьшее возможное значение меньшего из двух этих квадратов?

Минимальное значение 9.

Полное решение A=327, B = 306, X=3, Y = 99.

Тогда 15A+16B=99^2, 15A-16B=3^2.

[Valen007]

Минимальное значение 9.

Полное решение A=327, B = 306, X=3, Y = 99.

Тогда 15A+16B=99^2, 15A-16B=3^2.

А доказательство?

[Quanty]

А доказательство?

15A+16B=Y^2,
15A-16B=X^2.

So that 30A = Y^2 + X^2, so that 3 divides X^2 + Y^2. For any integer X we have either X^2 = 0 mod 3 or X^2 = 1 mod 3, so if sum of two squares is divisible by 3 then 3 divides both X and Y.

So, the smallest value that X can take is 3. On the other hand, X = 3, Y = 99, A=327, and B=306 satisfies the above equations.

[Valen007]

15A+16B=Y^2,
15A-16B=X^2.

So that 30A = Y^2 + X^2, so that 3 divides X^2 + Y^2. For any integer X we have either X^2 = 0 mod 3 or X^2 = 1 mod 3, so if sum of two squares is divisible by 3 then 3 divides both X and Y.

So, the smallest value that X can take is 3. On the other hand, X = 3, Y = 99, A=327, and B=306 satisfies the above equations.

Seems that you solved it. Impressive!

[XCNY]

Стыдно то как, ни одну задачку не могу решить.А этоже школьнки решают и без высшей математики,правда одаренные.Приедет племяш из узбекистана я ему эти задачки подкину,посмотрим ,городские первое место занимал вроде ищё в школе.А вот другие мои которые в сша,чёт чнстно говоря никак,слабенько их школьное ...

[Quanty]

задачи с международных мат олимпиад всегда сложные. то, что они для школьников - в плане сложности почти ничего не значит. далеко не каждый профессор их сможет решить


а задача про игру это по теории вероятности. таких на школьных мат олимпиадах не бывает. разве что может на Putnam competition для андеградов.

[Valen007]

Стыдно то как, ни одну задачку не могу решить.А этоже школьнки решают и без высшей математики,правда одаренные.Приедет племяш из узбекистана я ему эти задачки подкину,посмотрим ,городские первое место занимал вроде ищё в школе.А вот другие мои которые в сша,чёт чнстно говоря никак,слабенько их школьное ...

Это очень сложные задачи. Если племянник может решить какую-то из них, это , мне кажется, уже хороший результат.

[Яправ]

не обращайте внимания. Яправ это тролль.

по совместительству финалист олимпиады в США

дело правда было лет 6 назад