Math 101

[President]

Theorem: |S|<|P(S)| for all S.

Proof:

Suppose that f is a function that maps S into P(S).

Let x be an element in S.

Since f maps into P(S), f(x) ∈ P(S).

Thus, f(x) is a subset of S.

So, x ∈ f(x) or x ∉ f(x).

Let C = {x in S |x ∉ f(x)}

Since C is a subset of S, C ∈ P(S).

Assume that f maps S onto P(S).

Then there exists an x in S such that f(x) = C.

Either x ∈ C or x ∉ C.

Case 1. Suppose that x ∈ C.

By the definition of C, x ∉ f(x).

So x ∉ C. Contradiction!

Case 2. Suppose that x ∉ C.

By the definition of C, x ∈ f(x).

S x ∈ C. Contradiction!

Either way, we get a contradiction.

Therefore, f does not map S onto P(S).

Hence, there does not exist a function that maps S onto P(S).

So, P(S) does not have the same size as S: |S| ≠ |P(S)|.

Since |S| ≤ |P(S)| and |S|≠ |P(S)|, it follows that |S|<|P(S)|.

---------------------------------------------------------------------------
How are the parts in bold relevant to the sentences that come right before them? They totally appear out left field and bear no relation to anything that precedes them. This proof is driving me up the wall. Please, help.

Thanks. :114:

[President]

Помню в мой последний визит на етот сайт, тут была пара математиков вроде. Мож они знают. До сих пор никто мне не может внятно обьяснить или просто у меня мозгов не хватает.

[Барон_Мюнхау]

Theorem: |S|<|P(S)| for all S.


Пусть -∞ ≤ S ≤ ∞.
Допустим, P(S)= sin/cos/tan/etc.
T.e. абсолютное значение P(S) всегда > самой S ?!?!?!?

[Quanty]

Что такое P(S) и что такое S?

[President]

S is a set. P(S) is its power set.

[President]

Here's like the 10000000000....th try:
__________________________________________________ _________________________________--

Suppose |N| = |P(N)|.

To that end, we will try and establish bijection between N and its power set P(N) like this below:

x f f(x)

N P(N)

1 ↔ {2, 3, 8}

2 ↔ {3, 4, 9}

3 ↔ {3, 6, 9}

4 ↔ {1, 9, 4}

. . .

. . .

Some natural numbers (x's) dont appear in f(x). Let's call the set of all such natural numbers (x's) C. Since the power set contains all sets of natural numbers, it contains C. So there has to be a bijection between a natural number(x), say c, and C as per the assumption that |N| = |P(N)|, like so:

x f f(x)

N P(N)

c ↔ C

In bijective pairs(I am sure there are more proper and technical ways to say this) such as 1 ↔ {2, 3, 8}, 2 ↔ {3, 4, 9}, 3 ↔ {3, 6, 9}, 4 ↔ {1, 9, 4}, x is either in f(x) or not. This property is preserved in all bijective pairs(Why? Not sure.). But the would-be bijection c ↔ C doesnt seem to abide by this property:

If c is in C, x is in f(x). But C is defined as a set that contains only the natural numbers(x's) that are not in f(x). So c is not in C. If c is not in C, x is not in f(x). All the natural numbers(x's) that are not in f(x) are contained in the set C. So c is in C. Contradiction.

Again, by the property above, in all the bijective pairs, x is either in f(x) or not, but in the pair c ↔ C, c is neither in C, nor outside it, so it fails as a bijection.

A single non-bijective relation like c ↔ C is enough to invalidate our assumption that there's one-to-one correspondence between N and P(N).

Therefore, |N| =/= |P(N)|.

-----------------------------------------------------------------

I was told "It might help to see this actually proves surjection is impossible, not just bijection.".

[President]

Пусть -∞ ≤ S ≤ ∞.
Допустим, P(S)= sin/cos/tan/etc.
T.e. абсолютное значение P(S) всегда > самой S ?!?!?!?

S is a set, P(S) is its power set, not a trig function. No absolute values here. )

[Quanty]

понятно. это классический результат (теорема Кантора).

что непонятно, например, в этом доказательстве? http://www.math.ucla.edu/~hbe/resource/general/131a.3.06w/cantor.pdf

могу попытаться объяснить :)

[President]

понятно. это классический результат (теорема Кантора).

что непонятно, например, в этом доказательстве? хттп://щщщ.матх.уцла.еду/ъхбе/ресоурце/генерал/131а.3.06щ/цантор.пдф

могу попытаться объяснить :)

Спасибо за линк. Достаточно толковое обьяснение. Пока вопросов не имею, но они обьязательно будут. Как будут, зайду.

:110:

[реднек]

Теорема неверна.
Рассмотрим пустое множество. Оно не имеет подмножеств. Его паурмножество есть следовательно само пустое множество. Отчего следует что их размерность одинакова.

[XCNY]

Теорема неверна.
Рассмотрим пустое множество. Оно не имеет подмножеств. Его паурмножество есть следовательно само пустое множество. Отчего следует что их размерность одинакова.

Потомучто есть: иньективные отображения.(с)как бы ты этого нехотел,даже беря изначально -пустое множество.

[Quanty]

Теорема верна.

Power set of any set is never an empty set.

[реднек]

Теорема верна.

Power set of any set is never an empty set.

А ну да: "In other words, the power set of the empty set is the set containing the empty set and the power set of any other set is all the subsets of the set containing some specific element and all the subsets of the set not containing that specific element." (википедия)

т.е. P(e) = {e} что не тождественно е.

[реднек]

А ну да: "In other words, the power set of the empty set is the set containing the empty set and the power set of any other set is all the subsets of the set containing some specific element and all the subsets of the set not containing that specific element." (википедия)

т.е. P(e) = {e} что не тождественно е.

Это кстати можно использовать как первый шаг индукции, индуктивный переход од n к n + 1 тривиален, чего огород городить с функциями, непонятно.

[Quanty]

множество S не обязательно счетное, поэтому индукция в общем случае не применима.

[реднек]

множество S не обязательно счетное, поэтому индукция в общем случае не применима.

Я в эту часть залезал более 20 лет назад, подзабыл. Можешь напомнить что есть мера несчетного множества |S|? И какой смысл в операции сравнения мер несчетных множеств?

[Quanty]

Мера это немного другое понятие. Здесь правильный термин это "мощность".

http://ru.wikipedia.org/wiki/Мощность_множества

[реднек]

Мера это немного другое понятие. Здесь правильный термин это "мощность".

http://ru.wikipedia.org/wiki/Мощность_множества

Перечитал, ну да понятно стало. А мне интересно люди, которым это все надо в голове держать каждый день, что они такое делают (преподы математики не в счет).

[Quanty]

Потому что математика это красиво и интересно.

[President]

И какой смысл в операции сравнения мер несчетных множеств?

Если я вас правильно понимаю, ето делается для того, чтоб показать, что сушествуют разные степени бесконечности. К примеру, бесконечное множество S меньше по размеру его пауер множества P(S). Если взять пауер множество пауер множества P(S), таким образом-P(P(S)), то P(S) < P(P(S)). И так далее. То есть возможно такое: ∞ < ∞.

Если размер множества S -АлефОдин, то размер P(S) -АлефДва.

Тогда АлефОдин < АлефДва < АлефТри ...

[реднек]

Если я вас правильно понимаю, ето делается для того, чтоб показать, что сушествуют разные степени бесконечности. К примеру, бесконечное множество S меньше по размеру его пауер множества P(S). Если взять пауер множество пауер множества P(S), таким образом-P(P(S)), то P(S) < P(P(S)). И так далее. То есть возможно такое: ∞ < ∞.

Если размер множества S -АлефОдин, то размер P(S) -АлефДва.

Тогда АлефОдин < АлефДва < АлефТри ...

Ну да, спасибо, освежил.

[Vrag]

Эту теоремму доказывать все равно что доказывать таблицу умножения.

[Vrag]

А мне вот нужно найти доказательство того что

"In the process of cluster sampling from a finite population with clusters of unequal size, ordinary sample mean is asymptotically normal."

Any references for that?

[Quanty]

Эту теоремму доказывать все равно что доказывать таблицу умножения.

не понял. в чем сходство теоремы Кантора и таблицы умножения?

[President]

What's up y'all.

Why is the collection of all sets not a set? Why is the collection of all sets > any set of sets?

Thanks.

[President]

In proof by induction, we gotta prove p(n) -> p(n + 1) and we assume p(n). Why does it look like we are assuming what we're trying to prove?

Thanks.

[Quanty]

потому что так работает математическая индукция :)
мат. индукция = база индукции + шаг индукции.

[зёбра]

Пусть -∞ ≤ S ≤ ∞.
Допустим, P(S)= sin/cos/tan/etc.
T.e. абсолютное значение P(S) всегда > самой S ?!?!?!?

Ахтунг..... Ахтунг ???!!!!:120:

/ ты типа реально понимаешь , о чем пишешь??? :169:/

[Vrag]

У меня статью приняли в один математический журнал, после девятимесячной рецензии (как беременность). Стало мне интересно когда они ее собираются публиковать, оказалось Май 2015. С ума сойти. Думаю не забрать ли ее оттуда к чертовой бабушкe.

[зёбра]

У меня статью приняли в один математический журнал, после девятимесячной рецензии (как беременность). Стало мне интересно когда они ее собираются публиковать, оказалось Май 2015. С ума сойти. Думаю не забрать ли ее оттуда к чертовой бабушкe.

мне пришел ответ через полтора года!
там, где я раньше работала, да, можно было бы этой статьёй помахать поред мордаме
а щас нах не надо
но я не стала отзывать, нехай выходит

[Vrag]

мне пришел ответ через полтора года!
там, где я раньше работала, да, можно было бы этой статьёй помахать поред мордаме
а щас нах не надо
но я не стала отзывать, нехай выходит

Да, я тоже не буду забирать, раз уже приняли.

[реднек]

У меня статью приняли в один математический журнал, после девятимесячной рецензии (как беременность). Стало мне интересно когда они ее собираются публиковать, оказалось Май 2015. С ума сойти. Думаю не забрать ли ее оттуда к чертовой бабушкe.

Объясните реднеку на кой сдалось ждать публикаций в статьях по столько времени? Когда сегодня чего хошь публикуй в интернете. Если ж чего стоящее и полезное, то будут читать. Смахивают все эти рецензии на статьи на Гугл поиск, только где ранжирование происходит вручную нужными людьми. Вот учоные живут какой то дремучей древностью.

[зёбра]

Объясните реднеку на кой сдалось ждать публикаций в статьях по столько времени? Когда сегодня чего хошь публикуй в интернете. Если ж чего стоящее и полезное, то будут читать. Смахивают все эти рецензии на статьи на Гугл поиск, только где ранжирование происходит вручную нужными людьми. Вот учоные живут какой то дремучей древностью.

не, ты не понимаешь
есть понятие " печатная работа", за нее получаешь сертификат, потом идешь к начальнику и говоришь: смари, как я крут! я делаю лицо твоей фирме! это требует прибавки к зарплате....
ну я не знаю, что там у вас, у нас - так
/ а в нете статья появляется уже автоматически, вместе с номером вышедшего в свет издания , то есть как следствие /

[Alex_3112]

Если ж чего стоящее и полезное, то будут читать.

Вот в этом и состоит основное заблуждение. Отношение к таким публикациям будет совершенно разное. "Ага, он не смог в нормальном журнале опубликоваться, значит его работа - чушь."
Одно дело спеть в душе и выложить видео в youtube, и совсем другое - в финале American Idol.

[Alex_3112]

In proof by induction, we gotta prove p(n) -> p(n + 1) and we assume p(n). Why does it look like we are assuming what we're trying to prove?

Thanks.

We don't assume, we prove p(n) for specific n (n как правило 0 или 1 или больше, в зависимости от конкретной проблемы).

[реднек]

Вот в этом и состоит основное заблуждение. Отношение к таким публикациям будет совершенно разное. "Ага, он не смог в нормальном журнале опубликоваться, значит его работа - чушь."
Одно дело спеть в душе и выложить видео в youtube, и совсем другое - в финале American Idol.

Тото Lady Gaga обойтись не может без American Idol. Совсем ее никто не смотрит видимо.

[Alex_3112]

Тото Lady Gaga обойтись не может без American Idol. Совсем ее никто не смотрит видимо.

Чтобы ученому достичь уровня популярности Lady Gaga, нужно ну очень многого достичь. Ну тогда и статьи в любые журналы с распростертыми объятиями принимают.

[Quanty]

по большому счету, в наше время, важность публикации в журналах не так велика.
любую работу по математике можно выложить на arXiv.
Перельман именно так и сделал со своими работами по геометризации.

[Quanty]

We don't assume, we prove p(n) for specific n (n как правило 0 или 1 или больше, в зависимости от конкретной проблемы).

он говорил про мат индукцию.
на шаге мат индукции мы предолагаем верность гипотезы для n, и основываясь на этом, доказываем гипотезу для n+1.

[_Август_]

он говорил про мат индукцию.
на шаге мат индукции мы предолагаем верность гипотезы для n, и основываясь на этом, доказываем гипотезу для n+1.

Этому где-то в седьмом классе учат, нет? Я уже не помню..:114:

[Quanty]

класс 9-10, я думаю.

[Alex5448]

Объясните реднеку на кой сдалось ждать публикаций в статьях по столько времени? Когда сегодня чего хошь публикуй в интернете. Если ж чего стоящее и полезное, то будут читать. Смахивают все эти рецензии на статьи на Гугл поиск, только где ранжирование происходит вручную нужными людьми. Вот учоные живут какой то дремучей древностью.
Я не математик, публикую в основном переводы русской литературы. Так вот, конечно очень приятно выложить перевод в интернет и видить как цитаты из него растаскивают по страничкам, форумам и иногда газетам, но опубликовать его в журнале который редактирует глава кафедры перевода в крупном универе, или в элитической газете, или чтоб твой перевод включили в школьную программу, это совсем другое дело.

[Alex_3112]

по большому счету, в наше время, важность публикации в журналах не так велика.
любую работу по математике можно выложить на arXiv.
Перельман именно так и сделал со своими работами по геометризации.

Так то Перельман, и то какая работа была. В наше время важность публикации в рецензируемых журналах по-прежнему велика.

[Alex_3112]

он говорил про мат индукцию.
на шаге мат индукции мы предолагаем верность гипотезы для n, и основываясь на этом, доказываем гипотезу для n+1.

"На шаге"
А вначале?

Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D 1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0 %B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

[Quanty]

Так то Перельман, и то какая работа была. В наше время важность публикации в рецензируемых журналах по-прежнему велика.


неа, не велика.

[Quanty]

"На шаге"
А вначале?

Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D 1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0 %B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

что, в начале? вопрос был про шаг индукции.

[_Август_]

Я не математик, публикую в основном переводы русской литературы. Так вот, конечно очень приятно выложить перевод в интернет и видить как цитаты из него растаскивают по страничкам, форумам и иногда газетам, но опубликовать его в журнале который редактирует глава кафедры перевода в крупном универе, или в элитической газете, или чтоб твой перевод включили в школьную программу, это совсем другое дело.

Алекс, тебе нужен либо корректор, либо редактор.

"видить", млин.:239:

[Quanty]

"видить" это еще ничего, а вот "элитический" это надо было постараться! :)

[Alex_3112]

неа, не велика.

Ну да, конечно.
Ассистент-профессор без публикаций в рецензируемых журналах просто не получит tenure.

[Alex_3112]

что, в начале? вопрос был про шаг индукции.

Вопрос не был про шаг. В вопросе было описание шага индукции - и отсутствие понимания, что это именно только шаг.

[Adrina]

В том-то и разница, что в престижных научных журналах публикуются избранные, а в Интернете любой может выставить свою статью, тем самим понижая [the value of the scientific product].

[President]

Вопрос не был про шаг. В вопросе было описание шага индукции - и отсутствие понимания, что это именно только шаг.


Чтоб доказать p(n) in p(n) -> p(n +1) надо предположить, что p(n) правда, но это делается в контексте p(n) -> p(n +1) . Тут мы не доказываем p(n) or p(n+ 1) , а p(n) -> p(n +1). Короче, p(n) в p(n) -> p(n +1) и p(n) by itself - два разных обьекта.

Подзабыл предикатную логику. Если готовы помочь у меня до хрена много, чего забытого.

[President]

For example,

In post 6 on page 1 we have the following quote

"In bijective pairs(I am sure there are more proper and technical ways to say this) such as 1 ↔ {2, 3, 8}, 2 ↔ {3, 4, 9}, 3 ↔ {3, 6, 9}, 4 ↔ {1, 9, 4}, x is either in f(x) or not. This property is preserved in all bijective pairs(Why? Not sure.). But the would-be bijection c ↔ C doesnt seem to abide by this property..."

The part in bold has something to do with an axiom from set theory. Cant remember which one.

Also, in the same post it's surjection that implies there's a c with C=f(c), apparently. Not sure why surjection is singled out here. :)

Thanks for the help.

[Quanty]

Вопрос не был про шаг. В вопросе было описание шага индукции - и отсутствие понимания, что это именно только шаг.

вопрос был про шаг индукции. ответ был дан. тема давно закрыта. не стоит напрягаться :)

[Quanty]

В том-то и разница, что в престижных научных журналах публикуются избранные, а в Интернете любой может выставить свою статью, тем самим понижая [the value of the scientific product].


...давайте не будем рассуждать о том о чем вы не имеет представления.
речь не идет о выкладывании статей где попало в интернете....

На arXiv статьи выкладывают все, от Terеnce Tao до голодранцев PhD студентов.

статьи выложенные там читают, на них ссылаются, и они имеют вес. это факт.

[Adrina]

...давайте не будем рассуждать о том о чем вы не имеет представления.
речь не идет о выкладывании статей где попало в интернете....

На арЪив статьи выкладывают все, от Теренце Тао до голодранцев ПхД студентов.

статьи выложенные там читают, на них ссылаются, и они имеют вес. это факт.

А давайте не будем забывать, что arXiv is an archive for electronic preprints of scientific papers, что означает, что там публикуются статьи, которые еще не были опубликованы в научных журналах. Ученый Джон Смит может конечно включить в свой curriculum vitae ссылку на такую публикацию, но она будет сильно проигрывать по сравнению с печатной публикацией in a peer reviewed scientific journal.

[Quanty]

А давайте не будем забывать, что arXiv is an archive for electronic preprints of scientific papers, что означает, что там публикуются статьи, которые еще не были опубликованы в научных журналах. Ученый Джон Смит может конечно включить в свой curriculum vitae ссылку на такую публикацию, но она будет сильно проигрывать по сравнению с печатной публикацией in a peer reviewed scientific journal.

тема, очевидно, о математике. в математике "выигрыш/проигрыш" определяется значимостью результата, а не тем где он опубликован.
могу привести уйму примеров когда результат был опубликован на arXiv и, в последствии, либо не был напечатан в каком-то весомом журнале вовсе, либо был напечатан но намного позже.

[_Август_]

Ферма записал доказательство теоремы на полях книжки. Но полей не хватило.
Что не повлияло ни на попу-лярность теоремы, ни на что-либо ещё. :235:

[Quanty]

For example,

In post 6 on page 1 we have the following quote

"In bijective pairs(I am sure there are more proper and technical ways to say this) such as 1 ↔ {2, 3, 8}, 2 ↔ {3, 4, 9}, 3 ↔ {3, 6, 9}, 4 ↔ {1, 9, 4}, x is either in f(x) or not. This property is preserved in all bijective pairs(Why? Not sure.). But the would-be bijection c ↔ C doesnt seem to abide by this property..."

The part in bold has something to do with an axiom from set theory. Cant remember which one.

Also, in the same post it's surjection that implies there's a c with C=f(c), apparently. Not sure why surjection is singled out here. :)

Thanks for the help.



:) ты пытаешься доказать, что |P(N)| != |N| ? ...это очевидно по теореме Кантора (до-во который ты сказал, что понял http://forum.russianamerica.com/f/showthread.php?t=77517&p=6589277&viewfull=1#post6589277 ).

[President]

:) ты пытаешься доказать, что |P(N)| != |N| ? ...это очевидно по теореме Кантора (до-во который ты сказал, что понял http://forum.russianamerica.com/f/showthread.php?t=77517&p=6589277&viewfull=1#post6589277 ).

Нет. Сначала я не мог логично связать выделенные строки со всем остальным в док-ве в первом посту. Решил плюнуть на это занятие и переписать док-во с точки зрения биекций. Все стало на свои места. Только в док-ве на(в?) моем первом посту(посте?) подчеркивается, что это док-во возможно из-за отсутствия сурьекций. Но биекция предпологает сурьекцию. Не мог врубиться почему их заклинило на сурьекций. Также забыл название закона по которому обьект либо внутри или снаружи любого множества. Тогда еше, после того, как посмотрел на док-во с другой точки зрения, успокоился и решил не обрашать внимания на мелкие детали. Но они мне вспомнились сегодня. Со времени моего последнего поста уже понял в чем дело. ))

[Alex_3112]

вопрос был про шаг индукции.

Где в тексте вопроса упоминался "шаг индукции"? Цитату можно?


ответ был дан.

Дан, но не на вопрос.

[Alex_3112]

могу привести уйму примеров когда результат был опубликован на arXiv и, в последствии, либо не был напечатан в каком-то весомом журнале вовсе, либо был напечатан но намного позже.

Что доказывает меньшую значимость arXiv по сравнению с весомыми журналами.

[Alex_3112]

Ферма записал доказательство теоремы на полях книжки. Но полей не хватило.
Что не повлияло ни на попу-лярность теоремы, ни на что-либо ещё. :235:

Для менее известных работ все складывается, увы, не так радужно.

[Quanty]

Что доказывает меньшую значимость arXiv по сравнению с весомыми журналами.

значимость определяется результатом.

[Quanty]

Нет. Сначала я не мог логично связать выделенные строки со всем остальным в док-ве в первом посту. Решил плюнуть на это занятие и переписать док-во с точки зрения биекций. Все стало на свои места. Только в док-ве на(в?) моем первом посту(посте?) подчеркивается, что это док-во возможно из-за отсутствия сурьекций. Но биекция предпологает сурьекцию. Не мог врубиться почему их заклинило на сурьекций. Также забыл название закона по которому обьект либо внутри или снаружи любого множества. Тогда еше, после того, как посмотрел на док-во с другой точки зрения, успокоился и решил не обрашать внимания на мелкие детали. Но они мне вспомнились сегодня. Со времени моего последнего поста уже понял в чем дело. ))

N счетно (по определению). P(N) несчетно (по теореме Кантора).

Если не хочешь использовать теорему Кантора, и доказать что |P(N)| > |N|, то берешь док-во теоремы Кантора и делаешь такие же рассуждения только применительно не к произвольному множеству S, а к N (иным словами, в док-ва заменяешь S на N :) ).

[Adrina]

значимость определяется результатом.

Опять-таки если результат хороший, то научный журнал возьмет статью с удовольствием.

[President]

Suppose you're given two sets, the set of naturals and its power set. Since the power set contains all subsets of natural numbers it contains a set defined as follows: C = {x ∈ N | x ∉ f(x)}. Now, is it possible to construct a set D inside the power set such that |C| = |D|? If so, how would you go about that?

Thanks.

[Quanty]

Suppose you're given two sets, the set of naturals and its power set. Since the power set contains all subsets of natural numbers it contains a set defined as follows: C = {x ∈ N | x ∉ f(x)}. Now, is it possible to construct a set D inside the power set such that |C| = |D|? If so, how would you go about that?

Thanks.

странный вопрос. Of course it is possible. Take D = C.

[President]

странный вопрос. Of course it is possible. Take D = C.

A subset of any(?) finite set S occurs only once inside 2^S. Is that correct? Does this property not hold for infinite sets as well?

Thanks.

[Quanty]

A subset of any(?) finite set S occurs only once inside 2^S. Is that correct? Does this property not hold for infinite sets as well?

Thanks.

Of course every subset of S occurs only once in P(S) (by definition of P(S)) …what does it have to do with anything though?...

[President]

Of course every subset of S occurs only once in P(S) (by definition of P(S)) …what does it have to do with anything though?...

Is it possible for P(N) to contain two identical subsets C and D?

[Quanty]

Is it possible for P(N) to contain two identical subsets C and D?

of course not. why would it contain two copies of the same object? it is however possible to have two subsets such that |C|=|D|.

[President]

of course not. why would it contain two copies of the same object? it is however possible to have two subsets such that |C|=|D|.

Oh, sure. We can totally have two different sets with the same cardinality. ))
Anyway, I was trying to see if it is possible for C to show up among the sets in the range of f however it's defined. I am still talking about C as defined in Cantor's Theorem.

[President]

Prove R = {x| x is in x} is invalid. Use Bernstein-Schroeder Theorem.

If A is in P(R), then A is a set. If A is a set, A is in R by definition. So, P(R) is a subset of R. It follows, then, |P(R)|=< |R|. |R| < |P(R)| by Cantor's Theorem. Since |P(R)|=< |R| and |R| < |P(R)|, by Bernstein-Schroeder Theorem, |R| = |P(R)|, but |R| < |P(R)|. Contradiction.

Why is strict inequality relation (|R| < |P(R)|) allowed in the proof?

Thanks.

[Quanty]

пиши полное описание задачи. иначе понять почти невозможно.

"Prove R = {x| x is in x} is invalid. " Что такое x? R is a set? what does invalid mean for a set??

[President]

R is invalid because it is the set from Russel's Paradox. x is a set.

[Quanty]

what does "invalid" mean for a set??

[President]

Technically R is not a set. The point of this proof is to show just that.

[Quanty]

Why is strict inequality relation (|R| < |P(R)|) allowed in the proof?


because it is exactly the statement of Cantor's theorem.

[President]

because it is exactly the statement of Cantor's theorem.

Right. What I mean is objects in Bernstein-Schroeder are ordered either by < or =<, not the mixture of both. Therein lies my confusion )).

[Quanty]

may I ask which book this proof is from?
…it is hard to believe that any decent book would have a language like "Prove R = {x| x is in x} is invalid." or something like "Since |P(R)|=< |R| and |R| < |P(R)|, by Bernstein-Schroeder Theorem, |R| = |P(R)|, but |R| < |P(R)|. "

[Izolda]

какие тут все умные. Ухожу из этой темы..