Проблемы по математике за 2-ой класс.

[abc]

Еще решил добавить, что в споре как-то потерял нить, о которой говорил.

Т.е. для 2 пар (8,-3) и (8,3) получаем -24 в левой части соотносится с 24 в правой, и 24 в левой части соотносится с 24 в правой. Это как раз показывает, что нельзя отбрасывать модуль, т.к. -24 и 24 соотносятся с 24 в зависимости от знака х и у, что неверно при доказательстве.

[Quanty]

Нет я все-таки прав.

Дело в том, что в правой части при возведении в квадрат |x| и |y| модули не отбрасываются и поэтому имеется |x|*|y| произведение.

Тогда, когда в левой части модуль |x + y| отбрасывается, что неверно, и дает разные произведения 2ху и -2ху в зависимости от знаков параметров.

Это говорит о невозможности такого доказательства из-за неверного использования модулей в левой и правой частях, т.е. нельзя возводить в квадраты такие части уравнения.

what can I say...you are one very confused individual :)

[Quanty]

Так и ты изменил свой подход.

в отличие от тебя я из стороны в сторону не мечусь. предоставил два док-ва , одно от противного, другое прямое. хотя, если верить твоей математике собственного сочинения, то они оба неверны :))

[Quanty]

Тогда, когда в левой части модуль |x + y| отбрасывается, что неверно, и дает разные произведения 2ху и -2ху в зависимости от знаков параметров..

...ну как, скажите мне, как объяснить человеку, что |X+Y|^2=(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2 верна для любых значений X and Y??? :rofl:

[bigfatred]

Ok, here's another one:

Given that for two real numbers X and Y, |X+Y|≤|X|+|Y|, deduce that
||X-Y||≤|X|-|Y|

:34:

[Quanty]

Ok, here's another one:

Given that for two real numbers X and Y, |X+Y|≤|X|+|Y|, deduce that
||X-Y||≤|X|-|Y|

:34:

там у тебя очепятка :) т.к. в таком виде неравенство неверно. возьми X = -5, Y=3.

скорее всего там просят доказать, что ||X| - |Y|| ≤ |X-Y|.

[bigfatred]

там у тебя очепятка :) т.к. в таком виде неравенство неверно. возьми Ъ = -5, Ы=3.

скорее всего там просят доказать, что ||Ъ| - |Ы|| ≤ |Ъ-Ы|.

Проверил- все правильно переписал.

[Quanty]

Проверил- все правильно переписал.

значит там ошибка. подставь пример который я привел и проверь.

они имели в виду неравенство которое я написал.

[Quanty]

there you go http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality

it's called reverse triangle inequality.

[abc]

...ну как, скажите мне, как объяснить человеку, что |X+Y|^2=(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2 верна для любых значений X and Y??? :rofl:

1 - В споре стал использовать твое доказательство, чего не собирался делать, т.к. показывал, что подход неверен.

2 - Еще раз повторяю, что твой метод доказательства, который ты привел вначале и называешь от противного - неверен.
Ты возводишь в квадрат 2 части уравнения с модулями, потом в левой части модуль отбрасываешь, а в правой нет - это полностью неверно. Т.е. полностью неверный подход у доказательству.

3 - Дал ссылку на правильный метод доказательства, как бы не замечаешь.

4 - Теперь, пытаешься выкрутиться, когда точно нашел твою ошибку.

[Quanty]

1 - В споре стал использовать твое доказательство, чего не собирался делать, т.к. показывал, что подход неверен.

2 - Еще раз повторяю, что твой метод доказательства, который ты привел вначале и называешь от противного - неверен.
Ты возводишь в квадрат 2 части уравнения с модулями, потом в левой части модуль отбрасываешь, а в правой нет - это полностью неверно. Т.е. полностью неверный подход у доказательству.




Во-первых, возводить в квадрат две части неравенства с модулями имеет смысл т.к обе части неравенства положительные.

Во-вторых, модуль отбрасывается т.к. для любого значения X, |X|^2 = X^2.

кончай позориться уже. на это печально смотреть.

[abc]

Во-первых, возводить в квадрат две части неравенства с модулями имеет смысл т.к обе части неравенства положительные. Во-вторых, модуль отбрасывается т.к. для любого значения X, |X|^2 = X^2. кончай позориться уже. на это печально смотреть.

Кончай врать людям, если не понимаешь, что модули должеы быть равнозначны, чтобы их отбрасывать.

Например, если уравнение такого вида |x+y| >= |a+b|, тогда при возведении в квадрат можно отбросить оба модуля.

В уравнении вида |x+y| >= |x| + |y|, это недопустимо, т.к. только в левой части модуль отбросил.

Все хитришь.

[Quanty]

Кончай врать людям, если не понимаешь, что модули должеы быть равнозначны, чтобы их отбрасывать.

Например, если уравнение такого вида |x+y| >= |a+b|, тогда при возведении в квадрат можно отбросить оба модуля.

В уравнении вида |x+y| >= |x| + |y|, это недопустимо, т.к. только в левой части модуль отбросил.

Все хитришь.

ты сам понимаешь, что пишешь? какие к черту равнозначные модули?

при возведении в квадрат обеих частей неравенства
|x+y| >= |x| + |y|

модуль отбрасывается в правой части (т.к., повторюсь для тех кто в танке, |A|^2= A^2 for any value of A).

В итоге имеем,

|x+y|^2 = (x+y)^2 >= (|x|+|y|)^2 = x^2 + 2|x||y| + y^2.

Еще вопросы будут?

[abc]

ты сам понимаешь, что пишешь? какие к черту равнозначные модули? при возведении в квадрат обеих частей неравенства|x+y| >= |x| + |y|
модуль отбрасывается в правой части (т.к., повторюсь для тех кто в танке, |A|^2= A for any value of A). В итоге имеем, |x+y|^2 = (x+y)^2 >= (|x|+|y|)^2 = x^2 + 2|x||y| + y^2.Еще вопросы будут?

Чего врешь.

Отбрасываешь модуль в левой части |x+y|^2 = (x+y)^2, но оставляешь в правой части.

| a^k | = | a |^ k, если a^k определено (ь.е. квадрат вностися под модуль, но не отбрасывается).

http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D 0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0 %BD%D0%B0

[Quanty]

Чего врешь.

Отбрасываешь модуль в левой части |x+y|^2 = (x+y)^2, но оставляешь в правой части.

| a^k | = | a |^ k, если a^k определено (ь.е. квадрат вностися под модуль, но не отбрасывается).

http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D 0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0 %BD%D0%B0

что я оставляю в правой части? в правой части (|x|+|y|)^2 = x^2 + 2|x||y|+y^2.
Опять же, используем тот факт, что |x|^2 = x^2.

я еще раз советую, прекращай позориться.

[abc]

что я оставляю в правой части? в правой части (|x|+|y|)^2 = x^2 + 2|x||y|+y^2. Опять же, используем тот факт, что |x|^2 = x^2.
я еще раз советую, прекращай позориться.

Ты хоть понимаешь, что сейчас позоришься сам.

Формулу | a^k | = | a |^ k можешь понять?

Она говорит о том, что |x+y|^2 = |(x+y)^2|, а не твое |x+y|^2 = (x+y)^2.

Ты совсем попал в ступор.

[bigfatred]

|x+y|^2 = (x+y)^2

|a|^2 = a^2

It's a proven fact.

[Quanty]

it's a proven fact for everyone except abc. he has his own mathematics.

[abc]

Это известный факт |a|^2 = a^2.

Однако, основные свойства неравенств говорят:

1. Если a < b, то b > a ; или если a > b, то b < a .
2. Если a > b, то a + c > b + c; или если a < b, то a + c < b + c. То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства.
3. Если a > b и c > d, то a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или < ) можно почленно складывать. Заметим, что неравенства одного смысла нельзя почленно вычитать одно из другого, так как результат может быть неверным.
4. Если a > b и c < d, то a – c > b – d . Или если a < b и c > d, то a – c < b – d . То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым.
5. Если a > b и m > 0, то ma > mb и a/m > b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак.
6. Если a > b и m < 0, то ma < mb и a/m < b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный.

Т.е. возведение обоих частей уравнения в квадрат не обязательно дает верный результат. О чем и писал.

[Quanty]

...О чем и писал.

о чем ты уже только не писал :)

...парень все никак не уймется.

в данном случае нет никаких проблем с возведением обеих сторон неравенства в квадрат т.к. обе части неравенства положительные.

остынь уже, герой :)

[abc]

о чем ты уже только не писал :)...парень все никак не уймется. в данном случае нет никаких проблем с возведением обеих сторон неравенства в квадрат т.к. обе части неравенства положительные. остынь уже, герой :)

Более верен такой подход:

|a+b|≤|a|+|b|

При a<0, b<0 a+b<0 |a+b|=-(a+b). |a|=-a, |b|=-b
⇒|a|+|b|=-a+(-b)=-a-b=-(a+b)
При a<0, b>0 –a>0 |a+b|=|b+a|=|b-(-a)|. |a|=-a, |b|=b ⇒|a|+|b|=-a+b.
|b-(-a)|≤-a+b⇒|a+b|≤|a|+|b|
Аналогично при a>0, b<0 –b>0, |a+b|=|a-(-b)|, |a|+|b|=a-b.

[Quanty]

Я не знаю, что такое "более верный" подход т.к. решение оно либо верное либо нет.

[abc]

Неловко, но должен признать, что Квонтити в данном примере прав.

[abc]

Причем, он писал, что разные доказательства давно известны, давал ссылки на интеренет, да как-то не придал этоиу значения.

[Quanty]

как-то ты все близко к сердцу принимаешь :)

лучше реши для bigfatred задачку про reverse triangle inequality:

||x| - |y|| <= |x-y|

[abc]

как-то ты все близко к сердцу принимаешь :) лучше реши для bigfatred задачку про reverse triangle inequality:
||x| - |y|| <= |x-y|

Не то, чтобы близко, но сам виноват, надо было во-время читать твои ссылки.

Эта задачка есть на интернете, пусть посмотрит.

[bigfatred]

там у тебя очепятка :) т.к. в таком виде неравенство неверно. возьми X = -5, Y=3.

скорее всего там просят доказать, что ||X| - |Y|| ≤ |X-Y|.

Turns out you were right.

So

1. |x|=|y+(x-y)|

2. |y+(x-y)|≤|y|+|x-y| [Triangle Inequality]

3. |x|-|y|≤|x-y|

4. |y|-|x|≤|y-x|

5. |x-y|=|y-x| because |-x|=|x|

6. |x-y|≥ |x|-|y| and |y|-|x|

because |y|-|x|≤|y-x| and |x-y|=|y-x|

7. |x-y|≥ ||x|-|y||

because |x- y| ≥ max{|x - y|,|y - x|} and |x|-|y| can be negative so they have to be enclosed inside absolute value bars. :27:

[bigfatred]

Need to find all four roots of the equation below:

X^4+X^3-2X^2-X+1=0

1. F(X)= (((X+1)X-2)X-1)X+1

F(X)=0, if X=1

That gives us one of the factors of the equation : (X-1)

[X^4+X^3-2X^2-X+1]/(X-1)=X^3+2X^2-1

2. X^3+2X^2-1=0

F(X)= ((X+2)X+0)X-1

F(X)=0, if X=-1, so the other factor is : (X+1)

[X^3+2X^2-1]/(X+1)=??????

The division above should reduce the equation into a quadratic one to find other two roots.

So what's wrong with the cubic equation above?

[Quanty]

So what's wrong with the cubic equation above?

what do you mean "what's wrong with the cubic equation"?

так же как в первом шаге, дели cubic polynomial by x+1.

почитай как делить полиномы. должно получиться

x^3 + 2x^2 - 1 = (x+1)(x^2+x-1).

[bigfatred]

what do you mean "what's wrong with the cubic equation"?

так же как в первом шаге, дели cubic polynomial by x+1.

почитай как делить полиномы. должно получиться

x^3 + 2x^2 - 1 = (x+1)(x^2+x-1).

I kept getting a remainder of -1. Now I understand my mistake: 0X-X=-X

I kept breezing past it, without thinking. Thought 0X-X=0

Thanks.

[bigfatred]

Какие у вас здесь получаются корни? Один из етих 4 корней у меня не соотносится с тем, что в учебнике.

4X^4- 18X^3+23X^2-3X-6=0

[Quanty]

Какие у вас здесь получаются корни? Один из етих 4 корней у меня не соотносится с тем, что в учебнике.

4X^4- 18X^3+23X^2-3X-6=0

ть подставь и проверь кто прав ты или учебник :)

[bigfatred]

ть подставь и проверь кто прав ты или учебник :)

Получается невероятно маленькое число, стремяшееся к нулю, но никак не ноль.

В любом случае, один из корней у меня 1.896

Надеюсь у тебя тоже :)

[Quanty]

Получается невероятно маленькое число, стремяшееся к нулю, но никак не ноль.

В любом случае, один из корней у меня 1.896

Надеюсь у тебя тоже :)

я не решал. напиши что у тебя получилось. только чтобы с корнями, а не в виде 1.896

[Dima424]

напомните как такие уравнения решаются....

[bigfatred]

напомните как такие уравнения решаются....


4X^4- 18X^3+23X^2-3X-6=0

This is a 4th degree equation- will have 4 roots:

1. You have to "nest" this polynomial.

a. write down the coefficient and one factor X from the first term and add on the coefficient of the next term:

4X-18

b. enclose these in brackets, multiply by X and add on the next coefficient:

(4X-18 )X+23

c. repeat: enclose the whole of this in square brackets, multiply by X and add on the next coefficient:

{[(4X-18 )X+23]X-3}X-6

This is gonna be our function:

F(X)={[(4X-18 )X+23]X-3}X-6

2. The Factor Theorem:

If F(X) is a polynomial and substituting X=A gives a remainder of zero i. e. F(A)=0, then (X-A) is a factor of F(X)

So

F(1)={[(4X-18 )X+23]X-3}X-6=0

Therefore (X-1) is on of the factors

3. The Remainder Theorem:

The above theorem states that if a polynomial F(X) is divided by (X-A), the quotient will be polynomial G(X) of one degree less than the degree of F(X), together with the remainder R still to be divided by (X-A):

F(X)/(X-A)= G(X) + R/(X-A)

So F(X)=(X-A)*G(X)+R

If F(X) were to be divided by (X-A), the remainder would be F(A)

So

4X^4- 18X^3+23X^2-3X-6/(X-1)= 4X^3-14X^2+9X+6

I use long division, some prefer synthetic division. According to the Remainder Theorem, the answer's cubic.

3. Repeat all of the above with the cubic equation- you should get this quadratic one:

4X^2-6X-3=0

4. To destroy this quadratic:

a. Factor it if sqrt(B^2-4AC)=perfect square

b. Decompose the polynomial if a≠1

c. If the above fails Complete The Square

d. Or use the Quadratic Formula

(3 - sqrt(21)) / 4 = -0.395643924 and (3 + sqrt(21)) / 4 = 1.89564392


4 roots: X=1, X=2, X=-0.396, X=1.896

:34:

[Dima424]

во 2м, единица берется на угад?

[bigfatred]

во 2м, единица берется на угад?

4X^4- 18X^3+23X^2-3X-6/(X-1)= 4X^3-14X^2+9X+6

Nest the cubic polynomial:

F(X)=((4x-14)X+9)X+6

If X=2, then F(X)=0

According to the Factor Theorem (X-2) is a factor of 4X^3-14X^2+9X+6

This factor X-2=0 gives X=2

One of the 4 roots.

Edit: disregard this post.

[bigfatred]

во 2м, единица берется на угад?

Ты имеешь ввиду [X]? Тогда, да.

[Quanty]

во 2м, единица берется на угад?

по большому счету, да. и x=1 и x=2 надо угадать.

кстати, зачем эта техника с nesting, я не совсем понимаю...

[bigfatred]

по большому счету, да. и x=1 и x=2 надо угадать.

кстати, зачем эта техника с nesting, я не совсем понимаю...

So far that`s about the only one I know.

[Dima424]

по большому счету, да. и х=1 и х=2 надо угадать.

кстати, зачем эта техника с нестинг, я не совсем понимаю...

вот и я так же думал, но вот эти скобки меня смутили... деление на [x-n] понятно конечно, но как вы делите и получаете ответ?

насколько я помню мы просто раскладывали так чтоб везде были общие множители и выводили их за скобки

[bigfatred]

вот и я так же думал, но вот эти скобки меня смутили... деление на [x-n] понятно конечно, но как вы делите и получаете ответ?

насколько я помню мы просто раскладывали так чтоб везде были общие множители и выводили их за скобки

Look up Polynomial Long Division or Synthetic Division.

[Dima424]

Лоок уп Полыномиал Лонг Дивисион ор Сынтхетиц Дивисион.

да, у есть учебник для поступающих в вузы на руском, гляну на днях...

ПС: мне на много проще на русском математика

[bigfatred]

по большому счету, да. и х=1 и х=2 надо угадать.

кстати, зачем эта техника с нестинг, я не совсем понимаю...

Решил больше не делaть нестинг и что-то у меня не получается.

5X^3+13X^2+5X-3=0

5X+13X+5X-3=0, does the equation hold for X=-1?

((5X+13)X+5))X-3=0, how about this one? Does X=-1 satisfy this nested one?

[Dima424]

5Ъ+13Ъ+5Ъ-3=0, доес тхе еэуатион холд фор Ъ=-1?


[13x^2] положительный знак дает при [x=-1].... -5+13-5-3=0

[bigfatred]

[13x^2] положительный знак дает при [x=-1].... -5+13-5-3=0

So you still are going to have to think about the degrees then. What if the X's aren't always nice like +/-1?

4X^3+X^2-29X+12=0

IF you had to guess the X here wouldn't it be easier to nest the equation?

[bigfatred]

Need to break the fraction below into two fractions:

[9x^2+48x+18]/[(2x+1)(x^2+8x+3)]=

5/(2x+1)+2x+3/(x^2+8x+3)


I keep getting -11 there.

[Quanty]

Need to break the fraction below into two fractions:

[9x^2+48x+18]/[(2x+1)(x^2+8x+3)]=

5/(2x+1)+2x+3/(x^2+8x+3)


I keep getting -11 there.

все прально, там 5.

[bigfatred]

все прально, там 5.

Cool. Will revisit the problem later.

Also [2X^3-5x+13]/(X+4)^2 needs to be written in partial fraction form.

I already broke it into 2X-16+ (91X+13)/(X^2+8X+16)

But (91X+13)/(X^2+8X+16) is confusing me. B here is supposed to be 95.

[Quanty]

Cool. Will revisit the problem later.

Also [2X^3-5x+13]/(X+4)^2 needs to be written in partial fraction form.

I already broke it into 2X-16+ (91X+13)/(X^2+8X+16)

But (91X+13)/(X^2+8X+16) is confusing me. B here is supposed to be 95.

what B?

[bigfatred]

what B?

(91X+13)/(X^2+8X+16) should break into 2 fractions. B is the numerator of the second fraction.

[Quanty]

решил таки, или вопрос еще актуален? :)

какой метод используешь?

[bigfatred]

решил таки, или вопрос еще актуален? :)

какой метод используешь?

Решил. Метод обычный для разложения полиномных дробей.

[bigfatred]

Using the series expansion of e^KX, evaluate 2^-3.4 accurate to 3 dp.

So a^X=e^Xlna. Basically we need to expand e^-3.4ln(2).

e^x=1+X+X^2/2!+X^3/3!...

e^-3.4ln(2)= 1-3.4ln(2)+(-3.4ln(2))^2/2+(-3.4ln(2))^3/6...=??? See any errors in the expansion? The answer is supposedly 0.095 Can't seem to get it right.

Thank you.

[Quanty]

...еще актуально, или сам разобрался? :)

[bigfatred]

...еще актуально, или сам разобрался? :)

Решено :)

[bigfatred]

1. Show that [r=0,n]Σ(-1)^r nCr=0

So I am thinking :

(a+b)^n=[r=0, n]Σ nCr a^n-1*b^r

Since 'a' is not given explicitly I take it is a=1 and b=(-1) in [r=0,n]Σ(-1)^r nCr=0 therefore (1+(-1)^n=0

Do you think this way of showing that [r=0,n]Σ(-1)^r nCr=0 would fly?

2. Show that [r=0,n]ΣnCr 2^r=3^n

Agan, (a+b)^n=[r=0, n]Σ nCr a^n-1*b^r so that a=1 and b=2 which is (1+2)^n=3^n.

Does it work?

[Quanty]

если я правильно понимаю обозначения, то да, все правильно.

[bigfatred]

если я правильно понимаю обозначения, то да, все правильно.

Kакие именно обозначения?

[Quanty]

nCr я так понимаю "n choose r"

[bigfatred]

nCr я так понимаю "n choose r"

Yes.

[bigfatred]

While at it, can you take a look at this too, please:

Show that (tanx+secx)=1/secx-tanx

(tanx+secx)=1/[secx-tanx]

= 1/[1/cosx-sinx/cosx]

= 1/[(1-sinx)/cosx]

= cosx/[1-sinx]*[1+sinx]/[1+sinx]

=[cosx+cosxsinx]/[1-sin^2x]

= [cosx(1+sinx)]/cos^2x

= [1+sinx]/cosx

= 1/cosx+sinx/cosx

=secx+ tanx

Thank You.

[Quanty]

да :)

[bigfatred]

For a sawtooth wave function with a period of P where the first branch of the function is given for [a, a+P) we can say that :

f(x)=some expression in x for [a, a+P)

f(x+nP)=f(x)

Why is 'a+P' not included in the x-interval? Wouldn't f(x) equal 1 if x was 1?

[Quanty]

функция периодическая с периодом P, значит f(a+P)=f(a).
Так что достаточно определить функцию на полуинтервале [a, a+P).

[bigfatred]

функция периодическая с периодом П, значит ф(а+П)=ф(а).
Так что достаточно определить функцию на полуинтервале [a, a+P).

А там на функций дырки не образуется из-за не включенного x? :)

[bigfatred]

Isn't R= +-sqrt(3) if R^2=3 ?

RcosΘ=1 and RsinΘ=-sqrt(2)

Need to find R for Rsin(x+Θ)=1

R^2[sin^2(Θ)]+R^2[cos^2(Θ)]=R^2(1)= 1^2+(-sqrt(2))^2=3 so that R=sqrt(3)

Isn't R here supposed to be -sqrt(3) and +sqrt(3) ?

Do we get rid of the negative square root of 3 because R is a radius? Why?

Thank You.

[Quanty]

Isn't R= +-sqrt(3) if R^2=3 ?

RcosΘ=1 and RsinΘ=-sqrt(2)

Need to find R for Rsin(x+Θ)=1

R^2[sin^2(Θ)]+R^2[cos^2(Θ)]=R^2(1)= 1^2+(-sqrt(2))^2=3 so that R=sqrt(3)

Isn't R here supposed to be -sqrt(3) and +sqrt(3) ?

Do we get rid of the negative square root of 3 because R is a radius? Why?

Thank You.

если честно, не понял насчет "Need to find R for Rsin(x+Θ)=1". Что за х?
какое отношение х имеет к R и Θ?

[bigfatred]

если честно, не понял насчет "Need to find R for Rsin(x+Θ)=1". Что за х?
какое отношение х имеет к R и Θ?

3cosx+4sinx=5

Equation of the form Acosx+Bsinx=C

"(The graph of) f(x)=3cosx+4sinx possesses an amplitude and a shape, so its equation must of the form:

f(x)=Rsin(x+Θ) or f(x)=Rcos(x+φ) Either form will suffice."

[bigfatred]

Еше не понятно откуда взялись f(x)=Rsin(x+Θ) or f(x)=Rcos(x+φ)

[Quanty]

3cosx+4sinx=5

Equation of the form Acosx+Bsinx=C

"(The graph of) f(x)=3cosx+4sinx possesses an amplitude and a shape, so its equation must of the form:

f(x)=Rsin(x+Θ) or f(x)=Rcos(x+φ) Either form will suffice."

это понятно. ты напиши условие задачи, так как написано в учебнике, без твоих собственных выкладок.

[Quanty]

Еше не понятно откуда взялись f(x)=Rsin(x+Θ) or f(x)=Rcos(x+φ)

ну это ясно. Просто для любых A, B and x выражение вида Acosx + B sinx можно записать в виде Rsin(x+Θ) для каких-то R and Θ.

[bigfatred]

это понятно. ты напиши условие задачи, так как написано в учебнике, без твоих собственных выкладок.

3cosx+4sinx=5

Solve for x.

[bigfatred]

ну это ясно. Просто для любых A, B and x выражение вида Acosx + B sinx можно записать в виде Rsin(x+Θ) для каких-то R and Θ.

Can you prove it or show how it's justified?

[bigfatred]

А вообше вопрос простой: почему отбросили негативый R?

[Quanty]

3cosx+4sinx=5

Solve for x.

тут проще всего возвести обе части в квадрат. тогда решение в две строчки....или в одну но подлиннее :))

[bigfatred]

тут проще всего возвести обе части в квадрат. тогда решение в две строчки....или в одну но подлиннее :))

Какой ответ у тебя получается если решил?

[Quanty]

можно решить так: поделить обе части на 5. 3/5cosx + 4/5sinx = 1. Then notice that (3/5)^2+(4/5)^2=1, so that there is Θ such that 3/5=sinΘ and 4/5=cosΘ.
Then sinΘcosx + cosΘsinx = sin(Θ+x)=1.

So that x =-Θ + pi/2 + 2piN where N is an integer, and Θ is as above.

[bigfatred]

можно решить так: поделить обе части на 5. 3/5cosx + 4/5sinx = 1. Then notice that (3/5)^2+(4/5)^2=1, so that there is Θ such that 3/5=sinΘ and 4/5=cosΘ.
Then sinΘcosx + cosΘsinx = sin(Θ+x)=1.

So that x =-Θ + pi/2 + 2piN where N is an integer, and Θ is as above.

Checks out. )

Still though, what happened to the negative R from the example above? Also, what's the rationale for f(x)=Rsin(x+theta)?

[Quanty]

про rationale я ответил, это пост 323 выше. тогда уравнение сводится к виду Rsinx(x+theta) = C, что легко решается функцией обратной синусу (если конечно |C/R| <= 1).

Можно рассмотреть и отрицательный R, тогда theta будет иметь другое значение, но окончательный ответ будет тот же.

[bigfatred]

про rationale я ответил, это пост 323 выше. тогда уравнение сводится к виду Rsinx(x+theta) = C, что легко решается функцией обратной синусу (если конечно |C/R| <= 1).

Можно рассмотреть и отрицательный R, тогда theta будет иметь другое значение, но окончательный ответ будет тот же.

One can rewrite x^-1 as 1/x, but what good is it if one has no idea why?)

[bigfatred]

Можно рассмотреть и отрицательный Р, тогда тхета будет иметь другое значение, но окончательный ответ будет тот же.

За ето спасибо. Проверю с негативным [R] завтра.

[Alex_3112]

Смотрю на тему топика, на последние посты и думаю - "Вот как мальчик-то вырос!"
:)

[bigfatred]

Смотрю на тему топика, на последние посты и думаю - "Вот как мальчик-то вырос!"
:)

:rofl:

[bigfatred]

3cosx+4sinx=5

so R= -+5

Theta=arctan(3/4)=0.64 rad

If R is positive:

5sin(x+theta)=5

x=pi/2-0.64+-2npi=0.93+-2npi

If R is negative:

x=-pi/2-0.64+-2npi=-2.21+-2np

:confused:

[Quanty]

tangent is a periodic function with a period of pi. hence the value of theta is not just 0.64 but 0.64 + M * pi,where M is any integer.

[bigfatred]

tangent is a periodic function with a period of pi. hence the value of theta is not just 0.64 but 0.64 + M * pi,where M is any integer.

I still don't see how pi/2-(0.64-+M * pi)+-2M*pi can equal -pi/2-(0.64-+M*pi)+-2Mpi

[Quanty]

I still don't see how pi/2-(0.64-+M * pi)+-2M*pi can equal -pi/2-(0.64-+M*pi)+-2Mpi

can you see why the set of numbers of the form pi/2 + M * pi is the same as -pi/2 + N * pi?

...also, strictly speaking, you should've written pi/2 - 0.64 + M * pi + 2*N*pi where M and N are arbitrary integers...which can further be written as pi/2 - 0.64 + L * pi, where L is an integer.

[bigfatred]

can you see why the set of numbers of the form pi/2 + M * pi is the same as -pi/2 + N * pi?

...also, strictly speaking, you should've written pi/2 - 0.64 + M * pi + 2*N*pi where M and N are arbitrary integers...which can further be written as pi/2 - 0.64 + L * pi, where L is an integer.

No. Care to break it down for me?

[bigfatred]

... Then notice that (3/5)^2+(4/5)^2=1, so that there is Θ such that 3/5=sinΘ and 4/5=cosΘ.


That's beautiful. Whoever came up with that is one creative summabitch. :34:

[bigfatred]

можно решить так: поделить обе части на 5. 3/5cosx + 4/5sinx = 1. Then notice that (3/5)^2+(4/5)^2=1, so that there is Θ such that 3/5=sinΘ and 4/5=cosΘ.
Then sinΘcosx + cosΘsinx = sin(Θ+x)=1.

So that x =-Θ + pi/2 + 2piN where N is an integer, and Θ is as above.

How about 4/5=sinΘ and 3/5=cosΘ?

Then cosΘcosx + sinΘsinx = cos(Θ-x)=1.

And f(x)=Rcos(x+theta)

:confused:

[abc]

Тема 7. Способы решения уравнений вида asin x + bcos x = c.
1-й способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - введение вспомогательного угла.
2-ой способ решения уравнения вида asin x + bcos x = c - метод рационализации

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1 %83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B 9%20asin%20%2B%20bcos%20%3D%20c&source=web&cd=10&sqi=2&ved=0CHQQFjAJ&url=http%3A%2F%2Fwww.edu.cap.ru%2FHome%2F6111%2Fel _kurs.doc&ei=r-P7TpfeK6OXiAK--cijDg&usg=AFQjCNEUQf4dhliwZ6dbGQvk33lqQZvjww

[Quanty]

No. Care to break it down for me?

pi/2 + M * pi is the same as -pi/2 + N * pi.


The first one is a set of numbers of the form pi/2 + M * pi, where M runs ofver all integers (i.e. ...-2, -1, 0, 1, 2, ...)...so, these numbers are:

{...., pi/2 - 3pi, pi/2 - 2pi, pi/2 - pi, pi/2, pi/2 + pi, pi/2 + 2pi, pi/2 + 3pi,...} = {..., -5/2pi, -3/2pi, -pi/2, pi/2, 3/2pi, 5/2pi, 7/2pi,...}


The second set is comprised of the numbers of the form -pi/2 + N * pi, where N runs over all integers....so, these numbers are:

{...., -pi/2 - 3pi, -pi/2 - 2pi, -pi/2 - pi, -pi/2, -pi/2 + pi, -pi/2 + 2pi, -pi/2 + 3pi,...} = {..., -7/2pi, -5/2pi, -3/2pi, -pi/2, pi/2, 3/2pi, 5/2pi,...}

So, you can see that two sets are the same.


Another way (easier) is to rewrite both sets as

pi/2 + M * pi =pi (1/2 + M)

-pi/2 + N * pi = pi (-1/2 + N)

and, again, notice that 1/2+M defines the same set of numbers as -1/2 + N.

[Quanty]

That's beautiful. Whoever came up with that is one creative summabitch. :34:

это стандартный трюк. во-первых 3^2 + 4^2 = 5^2 это легко запомнить (треугольник Пифагора).
и, во-вторых, any numbers a and b such that a^2 + b^2 =1, can be represented as cos and sin of some angle theta i.e. a = sin(theta), b = cos(theta).

[bigfatred]

Thank You for taking the time to post this. Looks awesome. Will look into it in a bit. :korova:

[Quanty]

...насчет "стандартного трюка" :) он проходит не во всех случаях.
для произвольного уравнения формы asinx + bcosx = c он не обязательно сработает. (только когда a^2 + b^2 = c^2).

[bigfatred]

any numbers a and b such that a^2 + b^2 =1, can be represented as cos and sin of some angle theta i.e. a = sin(theta), b = cos(theta).


Да. Вчера я сверил только ответы- не удосужился посмотреть на процесс. Заметил только сегодня. Использование треугольника Пифагора именно для етой ситуаций я еше не видел.

Кстати, в чем разница м/у Rsin(x+theta) and sin(x+theta)? Решив оригинальное уравнение мы получили sin(x+theta) без R.

[bigfatred]

...насчет "стандартного трюка" :) он проходит не во всех случаях.
для произвольного уравнения формы asinx + bcosx = c он не обязательно сработает. (только когда a^2 + b^2 = c^2).

b^2 + a^2 = c^2 не катит? :rofl:

То есть а- всегда sine theta?

[bigfatred]

One more thing, how should one go about deriving cos(x+phi)=1 form 3cosx+4sinx=5 ?

I know... too many questions. Sorry. :27:

[bigfatred]

Тема 7. Способы решения уравнений вида асин х + бцос х = ц.
1-й способ решения уравнения вида асин х + бцос х = ц - введение вспомогательного угла.
2-ой способ решения уравнения вида асин х + бцос х = ц - метод рационализации


Спасибо. Может вы мне покажите альтернативное решение. У меня два вопроса:

1. -5sin(x+theta)=5sin(x+theta)=5 Why?

2. What's R in Rsin(x+theta) and how it got there?

[abc]

Спасибо. Может вы мне покажите альтернативное решение. У меня два вопроса:
1. -5sin(x+theta)=5sin(x+theta)=5 Why?
2. What's R in Rsin(x+theta) and how it got there?

В ссылке есть примеры решения.

[Quanty]

Да. Вчера я сверил только ответы- не удосужился посмотреть на процесс. Заметил только сегодня. Использование треугольника Пифагора именно для етой ситуаций я еше не видел.

Кстати, в чем разница м/у Rsin(x+theta) and sin(x+theta)? Решив оригинальное уравнение мы получили sin(x+theta) без R.

по-моему у тебя немного каша в голове от информации и разных подходов к решению :))

сделай лучше так. Сначала убедись что ты понимаешь решение с треугольником (где используем 3^2 + 4^2 = 5^2 и тд).

Потом реши методом R sinx(x+theta).
Суть этого методоа в следующем, выражение вида asinx + b cosx переписывают в виде R sinx(x+theta).
Более строго, для любых а и b найдутся R и theta (которые зависят от a and b), такие что for any x we have

asinx + b cosx = R sin(x+theta).

Тут надо понимать, что R и theta не определяются однозначно.
Например, выражение 9*sin(x+pi) это тоже самое что -9 * sin(x) (remember that sin(x+pi) = - sin(x) ).
В первом случае R=9, theta = pi, во втором R = -9, theta = 0.

[bigfatred]

F(x)= -x+4, [0,3), f(x+3)=f(x)

Plot the graph of this function for [-9,9)

I have two questions:

1. Do the branches of this graph have a slope of 1? Just checking to see if I plotted the function right.

2. What will happen if we include 3 in [0,3) in the interval?

Thank You.

[Quanty]

F(x)= -x+4, [0,3), f(x+3)=f(x)

Plot the graph of this function for [-9,9)

I have two questions:

1. Do the branches of this graph have a slope of 1? Just checking to see if I plotted the function right.

2. What will happen if we include 3 in [0,3) in the interval?

Thank You.

1) no. the slope is -1

2) nothing interesting will happen, as the function will not be well-defined.
basically, you want to define it like f(x) = -x + 4 on [0,3] while having f(x+3) = f(x).
Then you'll have a contradiction, since on the one hand f(3) = -3 + 4 =1, on the other hand, since it is periodic, f(3) = f( 0 + 3) = f(0) = -0+4 = 4.

[bigfatred]

1) no. the slope is -1

2) nothing interesting will happen, as the function will not be well-defined.
basically, you want to define it like f(x) = -x + 4 on [0,3] while having f(x+3) = f(x).
Then you'll have a contradiction, since on the one hand f(3) = -3 + 4 =1, on the other hand, since it is periodic, f(3) = f( 0 + 3) = f(0) = -0+4 = 4.

The graph has two y-values for every x=3. Is it the sole reason not to include 3 in the interval? Would it, then, be the same function if we excluded 0 and included 3 in the x interval? )

[Quanty]

The graph has two y-values for every x=3. Is it the sole reason not to include 3 in the interval? Would it, then, be the same function if we excluded 0 and included 3 in the x interval? )

yes. By definition, function may take only one value.

you can answer the second question yourself :)

[bigfatred]

yes. By definition, function may take only one value.

you can answer the second question yourself :)

Thank YOU! Took me forever to see this! :devo:

[bigfatred]

So f(x+3)=f(x) lets us move the tilted branch defined by f(x)=-x+4 for [0,3) three steps in either direction on both sides of y-axis. Why so?

I vaguely remember there's a rule stating that f(x+n) is f(x) shifted n units to the left. So if that's true how can we keep copying the branch every three steps to the right side of y-axis?

[Quanty]

ну что там, как успехи? или все еще на каникулах? :))

[DryWater]

Itty-bitty question:

Difference in signs OF PHASES of -7cos(5x-3) and -cot(3x-4)?

The phase of -7cos(5x-3) is -3/5

The phase of -cot(3x-4) is 4/3

Why the difference in the signs of phases? I think the phase of -cot(3x-4) should be -4/3. Its an odd function: -cot(3x-4)=cot(-3x+4) and even then its phase looks to be -4/3.